ลองนึกถึงอากาศรอบตัวคุณ ที่จุดใดๆ ในห้อง อากาศจะมีความเร็วเฉพาะเจาะจง ซึ่งประกอบด้วยทิศทางที่กำลังเคลื่อนที่และอัตราเร็ว นี่คือสนามเวกเตอร์ สนามเวกเตอร์. ต่างจากสนามสเกลาร์ ซึ่งอาจบอกแค่ค่าอุณหภูมิที่แต่ละจุด สนามเวกเตอร์จะ “เติมเต็ม” พื้นที่ด้วยลูกศรที่อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพที่เปลี่ยนแปลง เช่น ลม กระแสน้ำ หรือแรงดึงดูดที่มองไม่เห็นของแรงโน้มถ่วง
นิยามอย่างเป็นทางการ
เพื่อวิเคราะห์สนามเหล่านี้ในเชิงคณิตศาสตร์ เราใช้นิยามพื้นฐานต่อไปนี้:
นิยามที่ 1 (สนามเวกเตอร์ 2 มิติ): ให้ $D$ เป็นเซตใน $\mathbb{R}^2$ สนามเวกเตอร์บน $\mathbb{R}^2$ เป็นฟังก์ชัน $\mathbf{F}$ ที่กำหนดให้แต่ละจุด $(x, y)$ ใน $D$ ได้เวกเตอร์สองมิติ:
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
โดยที่ $P$ และ $Q$ เป็น สนามสเกลาร์ (ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว)
นิยามที่ 2 (สนามเวกเตอร์ 3 มิติ): สำหรับเซตย่อย $E$ ของ $\mathbb{R}^3$ สนามนี้นิยามโดย: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
นิยามที่ 2 (สนามเวกเตอร์ 3 มิติ): สำหรับเซตย่อย $E$ ของ $\mathbb{R}^3$ สนามนี้นิยามโดย: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
การตีความทางกายภาพ
- สนามความเร็ว: แทนการไหลของของเหลวหรือรูปแบบลม ตัวอย่างเช่น รูปที่ 1 แสดงรูปแบบลมในอ่าวซานฟรานซิสโก ส่วนรูปที่ 13 จำลองการไหลของของเหลวผ่านท่อน้ำที่หดตัว
- สนามแรง:กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน นิยามสนามที่มีขนาด $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$ ในรูปเวกเตอร์: $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$ หมายเหตุ: นักฟิสิกส์มักใช้ $\mathbf{r}$ แทน $\mathbf{x}$
- สนามไฟฟ้า: นิยามโดย $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$ ซึ่งแสดงถึงแรงต่อหน่วยประจุ
เรขาคณิตของสนามเกรเดียนต์
หาก $f$ เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ ค่าเกรเดียนต์ $\nabla f$ จะสร้างสนามเวกเตอร์ชนิดพิเศษ ใน 3 มิติ สามารถเขียนได้ว่า:
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$ข้อสังเกตเชิงเรขาคณิต
ตามที่แสดงในรูปที่ 15 เวกเตอร์เกรเดียนต์จะตั้งฉากเสมอ ตั้งฉาก กับเส้นระดับ (หรือพื้นผิวระดับ) ของฟังก์ชันเดิม $f$ และชี้ไปในทิศทางที่เพิ่มขึ้นมากที่สุด
ตัวอย่างที่ 1: สนามหมุนวน
พิจารณา $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$ ที่ $(1, 0)$ เราได้ $\langle 0, 1 \rangle$ ที่ $(0, 1)$ เราได้ $\langle -1, 0 \rangle$ การวาดกราฟแสดงให้เห็นการไหลเป็นวงกลมรอบจุดกำเนิด ซึ่งเป็นโครงสร้างพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ในการจำลองวัตถุหมุนและกลไกการหมุน